Khảo sát tính đếm được của một số tập hợp Tập_hợp_đếm_được

Tập hợp số tự nhiên

Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).

Tập hợp số tự nhiên và các tập con của nó đếm được, vì tập hợp này tương đương với chính nó (xét dãy logic: đồng nhất ánh - song ánh - đơn ánh - đếm được).

Tập hợp số nguyên

Số nguyên âm -1

Tập hợp số nguyên đếm được.

Chứng minh

Xét ánh xạ sau:

f: Z → Nf(z) = 2z, nếu z ≥ 0f(z) = 2|z| + 1, nếu z < 0.

f là song ánh. Điều đó chứng tỏ Z và N có cùng lực lượng.

Tập hợp số hữu tỉ

Số hữu tỷ 1/4

Tập hợp số hữu tỉ đếm được.

Chứng minh

Thật vậy, mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn duy nhất bởi m⁄n là phân số tối giản, với m là số nguyên và n là số nguyên dương. Xét ánh xạ từ tập hợp Q (tập các số hữu tỉ) lên tích Descartes Z × Z\{0}:

f: Q → Z × Z\{0} f ( m n ) = ( m , n ) {\displaystyle \textstyle f\left({\frac {m}{n}}\right)=(m,n)}

ánh xạ này là đơn ánh, điều đó chứng tỏ Q là tập hợp con của tập Z × Z\{0}, và do đó có lực lượng đếm được.

Tập hợp số thực

Tập hợp số thực không đếm được.

Chứng minh

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Cho A là tập hợp các số thực trong khoảng (0,1); ta chứng minh tập hợp A không đếm được.

Chứng minh phản chứng. Giả sử A đếm được, khi đó tồn tại song ánh:f: A → N.

Xét số thực r thuộc A.

Ký hiệu ri là chữ số thứ i của r sau dấu phẩy (trong hệ thập phân). Như vậy r = 0,r1,r2,r3...,ri....

Ta xây dựng r bằng cách đưa ra quy tắc tính từng chữ số trong biểu diễn thập phân của r:

Tính riKý hiệu f -1(i) là tạo ảnh của i. Tức là f (f -1(i)) = i,ri = 9 - Chữ số thứ i của f -1(i).

Do r thuộc A, nên tồn tại n thuộc N sao cho: f(r) = n.

Theo quy tắc trên thì:rn = 9 - rn, suy ra 2rn = 9 (vô lý vì 9 là số lẻ).

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tập A không đếm được. Bổ đề chứng minh xong.

Mặt khác, tập A là tập con của R (tập số thực), suy ra R là tập không đếm được.

Tập hợp số phức

Tập hợp số phức không đếm được.

Chứng minh

Do R là tập con của tập C (tập số phức), R không đếm được, suy ra C không đếm được.

Một số tập hợp khác

Tập các số thực thuộc các khoảng, đoạn, và nửa khoảng ((a,b), [a,b], [a,b), (a,b], [a,+ ∞ {\displaystyle \infty } ), (a,+ ∞ {\displaystyle \infty } ), (- ∞ {\displaystyle \infty } ,a), (- ∞ {\displaystyle \infty } ,a] )với a < b là số thực, là tập không đếm được (xem chứng minh ở phần tập hợp số thực).